قانون اعداد بزرگ چیست؟

قانون اعداد بزرگ چیست؟

در علم آمار، قانون اعداد بزرگ بیان می‌کند که با افزایش اندازه نمونه، نتایج آزمایش روی نمونه به میانگین کل جمعیت نزدیک‌تر می‌شود. به عبارت دیگر، نمونه با افزایش اندازه، نماینده بهتری از کل جمعیت خواهد بود.

در دنیای مالی، قانون اعداد بزرگ معنای متفاوتی دارد: یک نهاد بزرگ که به‌سرعت رشد می‌کند، نمی‌تواند این سرعت رشد را برای همیشه حفظ کند. شرکت‌های بزرگ با ارزش بازار چند صد میلیارد دلاری اغلب به‌عنوان نمونه‌هایی از این پدیده ذکر می‌شوند.

نکات کلیدی

• قانون اعداد بزرگ بیان می‌کند که با افزایش اندازه نمونه، میانگین نمونه به میانگین واقعی جمعیت نزدیک‌تر می‌شود.

• در تحلیل سهام، این قانون به رابطه بین مقیاس و نرخ رشد اشاره دارد.

• برای شرکت‌ها، قانون اعداد بزرگ با مفهوم ناکارآمدی‌های مقیاس مرتبط است؛ شرکتی که فروشش به‌سرعت رشد می‌کند، بعید است بتواند این سرعت را به‌طور نامحدود حفظ کند.

از پیش‌بینی نتایج انتخابات تا تعیین حق بیمه، این اصل کمک می‌کند تا برآوردها با جمع‌آوری داده‌های بیشتر، قابل‌اعتمادتر شوند.

فهم قانون اعداد بزرگ

قانون اعداد بزرگ در آمار و در امور مالی تعریف متفاوتی دارد.

در تحلیل آماری

بررسی تک‌تک افراد یک جمعیت برای آزمایش یک نظریه عملی نیست. در عوض، پژوهشگران نمونه‌ای از جمعیت را آزمایش می‌کنند. قانون اعداد بزرگ به‌سادگی بیان می‌کند که هرچه نمونه بزرگ‌تر باشد، نتایج آن بهتر منعکس‌کننده ویژگی‌های کل جمعیت خواهد بود.

هر داده اضافی که جمع‌آوری می‌شود، احتمال اینکه نتیجه، معیاری واقعی از میانگین باشد را افزایش می‌دهد.

این قانون به این معنا نیست که یک نمونه یا گروهی از نمونه‌های متوالی همیشه ویژگی‌های واقعی جمعیت را منعکس می‌کنند. همچنین تضمین نمی‌کند که نمونه‌های متوالی، میانگین مشاهده‌شده را به میانگین جمعیت نزدیک‌تر می‌کنند، همان‌طور که مغالطه قمارباز پیشنهاد می‌دهد که تکرار یک عمل تصادفی، احتمال موفقیت آن را افزایش می‌دهد.

در کسب‌وکار

در تحلیل کسب‌وکار، قانون اعداد بزرگ به نرخ‌های رشد در طول زمان مربوط می‌شود. این قانون نشان می‌دهد که حفظ نرخ رشد درصدی با افزایش مقیاس دشوارتر می‌شود. این پدیده می‌تواند به یک کسب‌وکار یا محصول اعمال شود.

این پدیده به این دلیل رخ می‌دهد که مقدار دلاری زیربنایی با حفظ نرخ رشد درصدی ثابت، افزایش می‌یابد.

نکته مهم

قانون مهم دیگر در آمار، قانون میانگین‌ها است که بیان می‌کند توزیع نتایج در یک نمونه بزرگ یا کوچک، توزیع نتایج در جمعیت بزرگ‌تر را منعکس می‌کند.

مثال تحلیل آماری قانون اعداد بزرگ

اگر بخواهید میانگین یک مجموعه داده با ۱۰۰ مقدار ممکن را تعیین کنید، انتخاب ۲۰ داده به‌جای تنها دو داده، احتمال رسیدن به میانگین دقیق‌تر را افزایش می‌دهد.

احتمال اینکه دو داده نقاط پرت یا غیرنماینده میانگین باشند بیشتر است، در حالی که احتمال غیرنماینده بودن هر ۲۰ داده کمتر است.

اگر مجموعه داده شامل تمام اعداد صحیح از ۱ تا ۱۰۰ باشد و شما تنها دو مقدار مانند ۹۵ و ۴۰ را انتخاب کنید، میانگین تقریبی ۶۷.۵ خواهد بود. با در نظر گرفتن داده‌های بیشتر و نمونه‌گیری تصادفی تا ۲۰ متغیر، میانگین باید به میانگین واقعی نزدیک‌تر شود.

قانون اعداد بزرگ و قضیه حد مرکزی

قانون اعداد بزرگ در تحلیل آماری با قضیه حد مرکزی مرتبط است. قضیه حد مرکزی بیان می‌کند که با افزایش اندازه نمونه، میانگین نمونه به‌صورت یکنواخت توزیع می‌شود.

این اغلب به‌صورت منحنی زنگوله‌ای نشان داده می‌شود که قله آن میانگین است و توزیع یکنواخت داده‌های نمونه در دو طرف منحنی قرار می‌گیرد.

قانون اعداد بزرگ نیز بیان می‌کند که با افزایش نمونه، داده‌ها دقیق‌تر می‌شوند، اما این قانون به‌طور خاص به مرکز منحنی زنگوله‌ای مربوط است. این نشان می‌دهد که با افزایش اندازه نمونه، میانگین نمونه به میانگین جمعیت نزدیک‌تر می‌شود.

بنابراین، قانون اعداد بزرگ به قله یا میانگین یک منحنی مربوط است، در حالی که قضیه حد مرکزی به توزیع یک منحنی اشاره دارد.

قانون اعداد بزرگ و رشد کسب‌وکار

عبارت قانون اعداد بزرگ گاهی به‌صورت غیررسمی برای اشاره به این مشاهده استفاده می‌شود که نرخ‌های رشد تصاعدی اغلب مقیاس‌پذیر نیستند. این به قانون اعداد بزرگ مرتبط نیست، اما ممکن است نتیجه قانون بازده نهایی کاهشی یا ناکارآمدی‌های مقیاس باشد.

این اصول می‌توانند به معیارهای دیگر مانند ارزش بازار یا سود خالص نیز اعمال شوند. شرکت‌هایی با ارزش بازار بسیار بالا ممکن است حفظ نرخ رشد قبلی قیمت سهام را دشوار بیابند.

این مفهوم می‌تواند در انتخاب سهام رشد در مقابل سهام ارزشی مرتبط باشد.

مثال کسب‌وکار قانون اعداد بزرگ

تسلا در سال مالی ۲۰۲۰ فروش خودرو (نه فروش ناخالص) به مبلغ ۲۴,۶۰۴ میلیون دلار گزارش کرد. سال بعد، این شرکت ۴۴,۱۲۵ میلیون دلار گزارش کرد که افزایش حدود ۷۹ درصدی را نشان می‌دهد. خودروهای الکتریکی بازاری نوظهور هستند و تسلا در حال بهره‌مندی از اقتصاد مقیاس بود و به‌سرعت موفقیت کسب کرد.

قانون اعداد بزرگ نشان می‌دهد که حفظ این سطح از بهره‌وری برای تسلا با ادامه رشد دشوارتر می‌شود. با فرض نرخ رشد ثابت در چند سال، مشخص می‌شود که تسلا نمی‌تواند مسیر رشد کنونی خود را به دلیل مقادیر دلاری غیرمنطقی حفظ کند.

درآمد نظری خودرو تسلا
سال	درآمد	یادداشت‌ها
۱۴۰۰	۴۴.۱ میلیارد دلار	واقعی
۱۴۰۱	۷۹.۰ میلیارد دلار
۱۴۰۲	۱۴۱.۴ میلیارد دلار
۱۴۰۳	۲۵۳.۱ میلیارد دلار	از کل فروش خالص شش‌ماهه اپل تا پایان مارس ۲۰۲۲ فراتر می‌رود.
۱۴۰۴	۴۵۳.۰ میلیارد دلار
۱۴۰۵	۸۱۰.۹ میلیارد دلار	تقریباً شش برابر درآمد سالانه فورد در سال ۲۰۲۱ (۱۳۶.۳ میلیارد دلار).
۱۴۰۶	۱.۴۵۱ تریلیون دلار	تقریباً برابر با فروش خودرو در سال ۲۰۲۱ برای ۲۰ خودروساز برتر با هم، یعنی ۱.۷ تریلیون دلار.

فرض نرخ رشد ثابت در درآمد از ۲۰۲۰ تا ۲۰۲۷ با استفاده از نرخ ۲۰۲۰-۲۰۲۱

اعداد واقعی درآمد تسلا

جدول بالا درآمد سالانه نظری تسلا را نشان می‌دهد اگر نرخ رشد آن با ۷۹ درصد در سال پس از ۲۰۲۰ ادامه می‌یافت.

در واقع، اعداد واقعی تسلا برای آن سال‌ها به این ترتیب بود (همه تاریخ‌ها تا ۳۱ مارس سال مربوطه):

• ۱۴۰۰: ۵۳.۸۲ میلیارد دلار، افزایش ۷۰.۶۷٪

• ۱۴۰۱: ۸۱.۴۶ میلیارد دلار، افزایش ۵۱.۳۵٪

• ۱۴۰۲: ۹۶.۷۳ میلیارد دلار، افزایش ۱۸.۸٪

• ۱۴۰۳: ۹۷.۶۹ میلیارد دلار، افزایش ۰.۹۵٪

• ۱۴۰۴: ۹۵.۷۲ میلیارد دلار، افزایش ۱.۰۳٪

درآمد تسلا برای سه‌ماهه منتهی به ۳۱ مارس ۱۴۰۴، ۱۹.۳۳ میلیارد دلار بود که نسبت به سال قبل ۹.۲۳ درصد کاهش داشت.

قانون اعداد بزرگ و بیمه

قانون اعداد بزرگ به‌طور گسترده در صنعت بیمه استفاده می‌شود. از آن برای محاسبه و اصلاح ریسک پیش‌بینی‌شده استفاده می‌شود.

تصور کنید یک شرکت بیمه در حال ارزیابی میزان حق بیمه برای بیمه خودرو است. اگر مجموعه داده کوچکی داشته باشد، نمی‌تواند پروفایل‌های ریسک مناسب را به‌درستی تعیین کند.

با جمع‌آوری داده‌های بیشتر، شرکت قانون اعداد بزرگ را تجربه می‌کند. ممکن است به‌زودی مشخص شود که رانندگان جوان و مرد بیشترین احتمال تصادف را دارند. این نمونه بزرگ‌تر نماینده‌تر از حوادث رانندگی می‌شود و شرکت بیمه می‌تواند به نتایج دقیق‌تری درباره حق بیمه مناسب برسد.

قانون اعداد بزرگ همچنین به شرکت‌های بیمه امکان می‌دهد معیارهای ارزیابی حق بیمه را با تجزیه‌وتحلیل ویژگی‌هایی که ریسک بالاتری ایجاد می‌کنند، دقیق‌تر کنند.

چرا قانون اعداد بزرگ مهم است؟

قانون اعداد بزرگ در تحلیل آماری مهم است زیرا به اندازه نمونه اعتبار می‌بخشد. فرضیاتی که با داده‌های کم انجام می‌دهید ممکن است به‌درستی به جمعیت واقعی منتقل نشوند.

این قانون در کسب‌وکار هنگام تعیین اهداف یا مقاصد مهم است. یک شرکت ممکن است درآمد خود را در یک سال دو برابر کند. اگر در دو سال گذشته همان مقدار پول کسب کرده باشد، با رشد ۵۰ درصدی در سال بعد، درصد‌ها می‌توانند گمراه‌کننده باشند زیرا مقادیر دلاری بزرگ‌تر می‌شوند.

چگونه شرکت‌ها می‌توانند چالش قانون اعداد بزرگ را غلبه کنند؟

شرکت‌ها اغلب با خرید شرکت‌های کوچک‌تر در حال رشد که می‌توانند رشد مقیاس‌پذیر را تزریق کنند، تلاش می‌کنند تا بر چالش قانون اعداد بزرگ غلبه کنند.

آن‌ها همچنین سعی می‌کنند کارآمدتر شوند و از اندازه خود برای دستیابی به اقتصاد در تولید، سفارش و توزیع استفاده کنند.

شرکت‌ها می‌توانند به اهداف دلاری به‌جای اهداف درصدی توجه بیشتری داشته باشند.

قانون اعداد کوچک چیست؟

قانون اعداد کوچک نظریه‌ای است که مردم تنوع در اندازه‌های نمونه کوچک را دست‌کم می‌گیرند. وقتی اندازه نمونه بیش از حد کوچک است، معمولاً ارزش جمعیت را بیش از حد تخمین می‌زنند.

نتیجه‌گیری

برای پژوهشگران، قانون اعداد بزرگ کمک می‌کند تا اندازه نمونه داده‌ای مورد نیاز برای نمایندگی جمعیت تعیین شود.

برای تحلیلگران سهام، قانون اعداد بزرگ یک علامت هشدار است. شرکتی بسیار بزرگ که به‌سرعت رشد می‌کند ممکن است حفظ همان نرخ رشد به‌طور نامحدود را دشوار بیابد.